Вам должны были поставить штамп при обмене паспорта. если этого не сделали, обратитесь вУФМС где происходил обмен и попросите устранить данный недостаток.
ПОЛОЖЕНИЕ
О ПАСПОРТЕ ГРАЖДАНИНА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
5. В паспорте производятся отметки:
о регистрации гражданина по месту жительства и снятии его с регистрационного учета — соответствующими органами регистрационного учета;
об отношении к воинской обязанности граждан, достигших 18-летнего возраста, — соответствующими военными комиссариатами и органами внутренних дел;
о регистрации и расторжении брака — соответствующими органами записи актов гражданского состояния и органами внутренних дел;
о детях, не достигших 14-летного возраста, — органами записи актов гражданского состояния и органами внутренних дел;
о ранее выданных основных документах, удостоверяющих личность гражданина Российской Федерации на территории Российской Федерации, — органами внутренних дел;
(абзац введен Постановлением Правительства Р. Ф. от 22.01.2002 N 32)
о выдаче основных документов, удостоверяющих личность гражданина Российской Федерации за пределами Российской Федерации, — органами внутренних дел или другими уполномоченными органами.
По желанию гражданина в паспорте также производятся отметки:
(в ред. Постановления Правительства Р. Ф. от 22.01.2002 N 32)
о его группе крови и резус-факторе — соответствующими учреждениями здравоохранения;
(в ред. Постановления Правительства Р. Ф. от 22.01.2002 N 32)
об идентификационном номере налогоплательщика — соответствующими налоговыми органами.
(в ред. Постановления Правительства Р. Ф. от 22.01.2002 N 32)

С уважением,
Ярослав Цветков.

Вы можете поставить штамп в Москве.
Согласно вышеприведенного положения О паспорте гражданина РФ:
Выдача (замена) паспорта производится ФМС России (в пределах компетенции), её территориальными органами и подразделениями по месту жительства, месту пребывания или по месту обращения гражданина.Это же правило действует и в Вашем случае.