Нужно ли мне платить за курсы повышения квалификации, на которые я был отправлен по инициативе работодателя?

Здравствуйте, Артур, судя по всему у Вас с работодателем заключен ученический договор.
В силу статьи 207 ТК РФ

В случае, если ученик по окончании ученичества без уважительных причин не выполняет свои обязательства по договору, в том числе не приступает к работе, он по требованию работодателя возвращает ему полученную за время ученичества стипендию, а также возмещает другие понесенные работодателем расходы в связи с ученичеством.

Исходя из статьи 249 ТК, в случае увольнения работника по неуважительной причине, работодатель может взыскать с сотрудника средства, потраченные на обучение. При этом размер суммы выплат пропорционален фактически не отработанному времени. Полную сумму с Вас не взыщут, так как 3 месяца Вы отработали. Сейчас Вы должны компании 75% от стоимости своего обучения. Не возвращать средства после увольнения можно, если увольнение состоялось по медицинским показаниям, при рождении детей, после призыва в армию и т. п.

Спор об увольнении решается в судебном порядке, если в договоре об обучении не перечислены причины увольнения, которые могут рассматриваться как уважительные. Чаще всего так и бывает, и Ваша ситуация, скорее всего, не является исключением. Поэтому ничего не платите и дождитесь, пока работодатель подаст в суд. Бремя доказательства Вашей вины ляжет на его плечи, а Вам останется только защищаться.