Можно ли претендовать на возмещение морального ущерба?

Исходя из статьи 151 ГК, моральный вред рассматривается как причинение физических или нравственных страданий, связанных с действиями, которые нарушают личные неимущественные права либо являются покушением на нематериальные блага гражданина. В некоторых других случаях суд может возложить на нарушителя обязанность компенсировать упомянутый вред. Но, как указано в статье 1100 ГК, моральная компенсация может быть уплачена пострадавшему и в тех ситуациях, когда вред ему причинен источником повышенной опасности. К таковым источникам относятся, например, линии электропередач, транспортные средства, различные механизмы и т. п. Если гражданину был причинен только имущественный ущерб, то моральную компенсацию взыскать невозможно.

Размер выплат за причинение морального вреда определяет суд на основании характера причиненных страданий. Суд исходит из принципов разумности и справедливости. Характер страданий оценивается исходя как из индивидуальных особенностей потерпевшего, так и из фактических обстоятельств происшествия. Поэтому если Вы считаете, что основания для возмещения морального вреда имеются, то подавайте на виновника иск в суд. В качестве доказательств можно использовать различные документы, свидетельствующие о Ваших нравственных и физических страданиях, например, справка о лечении в медицинском учреждении, чеки из аптек или справка о ДТП.

ПО ОСАГО Вам правильно отказались компенсировать какой-либо моральный вред.
Собственно, если действительно был причинен только имущественный вред, то никакой компенсации морального вреда Вам не видать по причине отсутствия такового.